记者/白竟楠 编辑/丁林

演讲专家

梁　进（同济大学数学科学学院 教授）

在传统印象中，数学家的样子是固执的、保守的，而艺术家的样子是非传统的、疯狂的。可以说，数学和美术是两种截然不同的存在。然而，数学和艺术其实能够在哲学层面产生交集。艺术是形象思维的高度抽象，数学是逻辑思维的高度抽象。但数学的研究对象是“数”和“形”，所以数学中包含“形象逻辑”；艺术讲究逻辑，所以也包含“逻辑形象”——在哲学的层面上，二者殊途同归、“高维连通”，这是一种非直观关联，是更高层面的浸润。实际上，一些数学家在发现重大定理时，偶尔也会通过“艺术”的直觉来发现。

▲19世纪荷兰“几何形体派”画家蒙德里安利用绘画三原色（红黄蓝）和几何图形创作的代表作《构图 II》

艺术中也有广阔时空

作为两个领域，艺术和数学的思维方式的确有很大不同，数学的思维是严谨的，而艺术的思维是跳跃的、抽象的、发散的。时间和空间是数学和物理中最基本的概念，那么时空在艺术中是如何反应的呢?

音乐是时间的艺术，音乐随着时间流淌，一首乐曲必须从头听到尾才能理解其含义。而美术是一种空间的艺术：绘画作品是二维的，雕塑作品是三维的。它们在时间上相对固定(不同时间点去欣赏同一幅作品，呈现的内容基本相同)。不过，艺术不是一成不变的，绘画也可以在作品中“表现时间”，音乐也可以“寻找空间”，比如交响乐比独奏的空间感要大得多，表现的内容也更丰富。

那么，名画是如何与数学产生交集的呢?事实上，绘画的结构“很数学”，例如，色彩是绘画中最基本的重要因素，从三原色开始，通过不同比例的调配能够获得更多的颜色，每一种色彩中红、黄、蓝的比例是不同且固定的。

因此，色彩可以组成一个具有x、y、z轴的坐标空间，每一种颜色都有属于自己独一无二的点，比如(255,255,255)为白色，而坐标原点(0,0,0)则为黑色，这就是一种典型的“数学”表现。

▲光学三原色（红绿蓝）可构建色彩坐标系

名画中的数学结构

数学中最简单的形状是圆、三角形、四边形，这些形状不仅在生活中处处可见，还被赋予各种含义，例如圆往往代表“完美”。

古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯很早就发现了“黄金分割”。据说有一天，毕达哥拉斯在大街上听到铁匠在打铁，他注意到打铁的声音非常好听，一强一弱的节律很有规律，毕达哥拉斯通过分析其中的规律，发现了黄金分割点——这是音乐节奏中的数学。

▲斐波那契的“兔子数列”示意图

喜欢数学的人一定知道斐波那契数列。这个数列还有一个“兔子”版本，即一只兔子生下一只小兔子，一个月后，小兔子也可以生小兔子。按照这个规律，兔子生兔子的数列就是0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……这就是斐波那契数列。斐波那契数列又称“黄金分割数列”——如果把通过斐波那契数列计算出的“黄金矩形”放在一起，便会进一步形成“等角螺线”。“等角螺线”在大自然中也很常见，比如葵花籽的排列方式就是按照等角螺线来排列的。

除了黄金分割点和等角螺线，自然界还有“黄金角度”——137.5度，如果细心观察你就会发现，大自然中的许多树杈就是137.5度。为什么树杈会正好长到这个角度?人们发现，这个角度正好可以让树木获得最大的采光量。

说到绘画与数学的融合，不得不提达芬奇。他不仅是美术家，也是数学家、科学家，是文艺复兴时期的博学家。《蒙娜丽莎》是达芬奇的代表作，画作的比例十分符合等角螺线和黄金三角形定律。后世画家在处理半身像时，或多或少都加上了《蒙娜丽莎》的影子，其影响之大可见一斑。而达芬奇另一幅备受关注的画作、人体绘画的标杆《维特鲁威人》也包含大量黄金分割。

▲ 达芬奇《维特鲁 威人》手稿（来源： 视觉中国）

《维特鲁威人》描绘了一个四肢张开的健壮中年男子。如果以头、足、手为端点，正好外接形成一个圆形。同时，在画中叠加着男子两臂张开平伸的结构，则可以外接一个正方形。这幅画，将数学的“形”体现得淋漓尽致。

“文艺复兴艺术三杰”中除了达芬奇，拉斐尔的画作同样结构明显。例如《嘉拉提亚的凯旋》的结构是由多个三角形组成。

▲拉斐尔画作《嘉拉提亚的凯旋》（来源：维基百科）

艺术走在了数学之前

工业革命后，数学界经历了一次危机。从微积分的诞生，到关于“无穷小”的争论，再到非欧几何的崛起、随机问题对传统的挑战等，数学家的眼光逐渐从具象转向抽象。

同一时期，画家也受到了严酷的挑战：特别是19世纪初，照相机的问世让一批画家丢掉了饭碗，这时候对于画得“如何像实体”的追求已经已经走到了尽头，艺术家们在方寸画布上，也开始追求“抽象”和“感觉”，印象派画家开始引领风潮，其独有的朦胧风格画作引起世人广泛的共鸣。

可以说，这回艺术走到了数学前面。数学一直以精准著称，然而直到印象派崛起的一个世纪后，数学界才发展出“模糊数学”学科(美国学者扎德发表“模糊集合”论文，标志模糊数学诞生)。

什么是模糊数学?我们可以用一个简单的例子来理解一二，比如老师说“请高个子同学站起来”，你一定会想：我算不算高个子呢?但如果老师说“请一米七以上的同学站起来”，这时符合条件的同学就会起立。有了模糊数学，我们就可以通过计算“一米七是高个子的概率有多少”来描述高个子这个模糊概念。模糊数学目前在许多领域(包括医学)中被大量应用。

其实，艺术与数学的发展都是无穷尽的。至少从目前人类掌握的知识来看，我们还有很长的路要走。我们可以把每个学科看成是不同的道路，或许在不同的时间和地点，这些路途就会产生交集，从而出现让人类觉得不可思议的、看似巧合却并非巧合的事物。■

不止达芬奇有密码

文艺复兴时期的德国艺术家丢勒留下了大量的版画作品，其中最有名是《抑郁症I》。在这幅作品中，多面体、球体、圆规、尺子代表几何学;刀锯、刨、锤代表工程学;船锚、指南针代表航海学;天平、沙漏、钟代表科学。而最有意思的是少女头顶上代表数学的4×4幻方。

幻方上的数字横竖加起来都是34，是斐波那契数列中的数字。而且对角线上元素的平方和748或立方和9248等于非对角线上的元素平方和或立方和。幻方最下面一行中间的两个数字15、14正是这幅画创作的年代1514年，时年丢勒正好43岁，是34的镜像。这种直接将数学研究成果放在艺术品里真是神来一笔。